기계공학 안에도 하부분야가 여러개로 갈라져서 뭐하지만,

- 미분, 적분 (편미분, 다중적분 포함)
- Taylor 급수
- 간단한 상미분 방정식과 Laplace 변환
- 선형대수
- 벡터해석

은 일반적으로 알아야 하는 분야일 듯 합니다.

확률/통계는 필요할지 안할지 알 수 없지만 기초적인 부분은 알아두면
좋을 듯 합니다.

복잡한 미분방정식은 직접 푸는 것 보다 MATLAB을 이용하여 그 결과를
그래프로 그려서 확인할테니 필요하다면 MATLAB을 공부해 두시면 좋지
않겠는가 싶습니다. 이 때 미분방정식의 상태변수를 이용한 표현법이
필요할 수 있는데 이는 '신호 및 시스템' 과 같은 과목에서 배울테므로
이 쪽 서적을 참조할 필요가 있겠습니다.

Fourier 급수와 Fourier 변환은 기계쪽에서는 쓰이는지 저는 잘 모르는
관계로 필수라고 말씀드리지 못하겠습니다.

복소수는 전기/전자 분야에서는 필수적인데 기계쪽에서는 어떨지 모르
겠군요. 일단 고등학교 일반수학 수준으로 충분하리라 생각이 듭니다만
시간이 있으시다면 복소수의 지수함수 표현식을 봐두시면 좋겠습니다.

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참고로 독일에 오면 수학공식 사전을 구할 수  있으므로 공식을 억지로
외우실 필요는 없습니다.

윗분께서 잘 정리해서 설명해 주셨네요. ^^ 제가 기계공학 전공자라, 윗 분께서 확실하지 않으신 부분과 실제 전공과목들과 관련하여 필요한 부분들에 대해 몇 가지 덧붙여 드릴까 합니다.

참고로 전자 공학 분야에서 다루는 신호처리, 음향학, 광학 등의 이론의 근원이 파동(Wave)이듯이, 기계공학의 역학 분야 중의 진동학 분야 역시 이론의 근원은 파동이며, 전자공학 분야와 공통적으로 다루는 자동제어 분야 역시 신호 입력 및 출력과 관련하여 파동에 대한 이론적 개념이 요구되지요. 그 밖에도 각종 기계 역학 분야에서도 실제 응용 모델에서의 파동의 이론을 적용 시키는 경우도 많습니다.

아무튼 이러한 이유로 기계공학에서도 파동과 관련하여 배워야 할 수학 분야가 존재하게 됩니다. 관련 분야로서 우선 삼각함수, 복소수, 푸리에 급수 등이 대표적으로 해당이 되겠습니다. 참고로 삼각함수나 복소수 같은 경우는 사실 고등학교 때 부터 배우는 부분이라 그렇게 어렵지는 않을 겁니다. 참고로 저의 경우 공업수학이나 전공과목에서 푸리에 급수는 다루었지만 푸리에 변환은 다루지 않았습니다. 제가 알기로는 푸리에 변환은 전자/전기 공학 분야에서 주로 다룬다고 알고 있습니다.

미분방정식은 공학적 시스템을 수학적으로 표현하는 가장 기본적인 방법이라 하겠습니다. 저도 학부시절 전자공학 관련 과목들을 선택과목으로 몇 과목 이수해 보면서 미분방정식의 적용 가능성이 전공분야를 불문하고 참 무궁무진하다는 것도 알 수 있었지요. 다른 전공도 마찬가지겠지만 기계공학의 경우 이 미분방정식 이론을 모르고서는 전공과목을 손대기 참 힘듭니다. 개인적으로 이 미분방정식의 경우 많은 연습문제 풀이를 통해 실전에서의 이론들의 사용 및 응용 능력을 기르는게 중요하다고 봅니다.

참고로 라플라스 변환은 미분방정식에서 딸려 나온 관련 분야로서, 라플라스라는 프랑스 수학자가 고안한 특별한 변환 방법을 통해 복잡한 미분방정식을 쉽게 풀게 하는 일종의 수학적 테크닉 정도로 생각하시는 것이 좋겠습니다. 하지만 그 사용 빈도나 범위가 무척 크기 때문에 꼭 배워두셔야 하는 부분이지요.

선형 대수 및 벡터의 경우 개인적으로 가장 재미있게 배웠던 수학 분야입니다. 특히 선형 대수의 경우 이론이 비교적 간단하면서도 실전에서의 응용 능력이 상당히 뛰어난 분야이지요. 실제 우리가 접하는 기계 시스템의 분석이나 모델링을 할 시에 변수도 수십개이고 관련 수학 방정식들 또한 복잡해 지는 경우가 많습니다. 따라서 이런 복잡한 시스템의 경우 컴퓨터로 분석해야 하는데, 그 분석 과정에서 수많은 변수들을 분류하고 정렬하여, 그렇게 복잡하던 방정식을 단순화 시켜서 처리속도를 높일 수 있게 하는 결정적인 분야가 바로 선형대수 입니다. 당연히 적용 빈도도 상당히 높으며 전공 교수님들 또한 선형대수에 대한 실전에서의 중요성을 강조하시던 기억이 납니다.

더불어 수치해석이라는 분야도 있습니다. 수치해석은 기본적으로 방정식을 해석적으로(손으로) 세우고 푸는 것이 아닌, 수치적인 방법(컴퓨터 계산)을 통해서 근사치의 방정식을 세우거나 방정식의 근사 해를 추정하는 방법을 주로 다룹니다. 실제 우리가 접하는 거의 모든 공학적 시스템들은 손으로 계산하는 해석적인 방법이 아닌, 컴퓨터를 이용한 수치해석의 방법을 통해 최종적으로 설계 및 구현되는 것이기 때문에, 수치해석 이론의 실제 사용 빈도나 중요도는 상당히 큽니다. 관련 이론 응용 및 계산을 위해서는 앞에서 설명 드린 선형대수 및 벡터 분야의 이론적 지식, 그리고 기본적인 컴퓨터 프로그래밍의 실력이 요구됩니다. 혹시나 교육과정상 필수과목은 아닐지라도, 기계공학을 전공하신다면 반드시 공부하셔야 할 분야입니다. 

아직 학부부터 시작하시는 경우라면 저의 설명이 다소 이해가 되시지 않을 가능성도 높겠습니다만, 앞으로 기계공학을 공부하시면서 참고가 되셨으면 하고, 학부 과정 처음 시작하실 때에는 윗 분이 설명하신 대로만 잘 다져나가셔도 많은 도움이 되실 겁니다.  ^^