안녕하세요.
우선 여권 재발급 받으시고 여권 앞장 - 사진, 이름 유효기간 기재된 페이지 - 복사하거나 스캔해서 외국인청 담당자에게 이메일로 보내세요.
비자가 카드 형태인지 여권에 붙어있는지에 따라 처리과정이 달라요. 다르게 더 할 일이 있다면 연락이 올거예요.
만약 비자에 현재 여권 번호가 적혀있다면 현여권 만기와 함께 비자 효력도 없어지니까 바로 외국인청에 테르민잡고 가세요. 그냥 기존의 비자를 옮기기만 해서 별로 복잡하지 않았던거 같아요.
저도 한번 잊었다가 외국인청에서  무지 기분 나쁜 편지 받았었는데 (2주일 내로 새여권가지고 오지 않으면 너한테 문제가 생긴다 등등) 카드가 아니고 여권에 붙여져 있었기 때문에 통화하고 나서 이메일로 복사본만 보내고 일단 해결되었어요. 그 후에 가서 겸사겸사 카드로 다시 발급받았어요.
 조금 다른 얘기지만: TV에서 보기만 한건데 외국 여자가 결혼해서 독일 남편도 있고 애들도 크고 영주권 받아서 오래 생활해서 여권 재발급 잊고 있다가 독일을 떠나서 본국으로 돌아가 여권받아야만 독일로 돌아올 수 있는걸 본 적이 있어요.

베를린같은 경우는 이민청 말고 뷰어거암트 (시청)에서도 가능해요,
'Aufenthaltserlaubnis in einen neuen Pass übertragen' 라고 되어있는 테어민 잡으시면 됩니다. 그냥 똑같은 비자를 여권에 옮겨주는거고, 여권 신규발급 후 6개월 내에만 하면된다고 알고있어요.