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수학 직교벡터 증명..한문장 이해가 너무 안가요

페이지 정보

작성자 별조각 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 댓글 7건 조회 429회 작성일 21-11-03 17:29 답변완료

본문

지금 수학 시작했습니다 근데 문제 잘 풀다가 이 독일어를 뭐라 하는지 아무리 물어도 모르겠고
무슨 뜻인지 모르겠어요

그러니까 (a)는 잘 풀었는데
(b)에서 문제가 뭘 원하는지 조차 몰겠습니다 ㅠ

증명하라는게 뭘 하라는건지..
xㅗy
xㅗz
xㅗ(y+z)

impliziert 이거 포괄하는? 이런뜻인데 임의의 저 x,y랑 x,z가 저 세번째를 만족시키는지
보여주는건가요.?.
ㅜㅜㅜㅜ헬프
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댓글목록

호프만복근님의 댓글

호프만복근 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일 채택된 답변입니다

네, 맞아요.
... impliziert ~ 라고 하면,
...가 성립하면 ~도 성립한다. 이걸 보여주면 됩니다.

그러니까
xㅗy 이고, xㅗz이면 (즉 둘 다 만족하는 경우) xㅗ(y+z) 가 성립된다는걸 보여주면 된다는 말입니다.

직각이라는게 skalarprodukt, 즉 x⋅y와 x⋅z가 0이라는거니까 (a번도 그렇게 푸셨겠죠)

이걸 풀어쓰면
(I) x⋅y = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 = 0
(II) x⋅z = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 = 0
이게 성립한다고 전제되는 거고요

이제 xㅗ(y+z) 라는걸 증명하려면 x⋅(y+z) = 0 이 공식이 참이어야 하잖아요? 이걸 풀어쓰면
(III) x1*(y1 + z1) + x2*(y2 + z2) + x3*(y3 + z3) = 0이 됩니다.

여기서 괄호를 풀어보세요. 그러면
x1*y1 + x1*z1 + x2*y2 + x2*z2 + x3*y3 + x3*z3 = 0 이 되네요. 이걸 조금만 순서를 바꾸면
x1*y1  + x2*y2 + x3*y3 + x1*z1 + x2*z2 + x3*z3 = 0
입니다.

잘 보시면 이건
(x1*y1  + x2*y2 + x3*y3) + (x1*z1 + x2*z2 + x3*z3)
즉 그냥 x⋅y + x⋅z  입니다. (I)와 (II)가 둘다 0이라고 전제를 깔았으니,
0 + 0 도 0인게 맞죠.

이로써 (I)와 (II)가 0이면, (III) = (I) + (II) = 0 이란게 증명되었습니다.

별조각님의 댓글의 댓글

별조각 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일

어머 호프만복근님..혹시 천재이신가요??? 대충 해석만이라도 받길 바랬는데 이걸 아예 풀어주시니 진짜........너무 대단하십니다. 진짜 정말 정말 감사드립니다.

호프만복근님의 댓글의 댓글

호프만복근 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일

저는 a문제처럼 벡터가 3개 숫자를 가졌다고 생각하고 설명드렸는데 배고프당님 댓글을 읽고보니 n개 숫자를 가졌을때 증명하는 거네요. 저처럼 하시면 틀렸다고 하거나 적어도 만점은 못받아요.

배고프당님 댓글 참고해주세요!

아마도 제가 설명드린걸 토대로 하되, i=1에서 n까지 가는 Σ (Summe)를 쓰고 xi, yi, zi 에 대해 증명하면 되지 않을까요?

(I) xㅗy <=> x⋅y = Σ (i=1...n) xi * yi = 0,
(II) xㅗz <=> x⋅z = Σ (i=1...n) xi * zi = 0,

(III) x⋅(y+z)
= Σ (i=1...n)  xi *(yi + zi) 여기서 괄호 풀면
= Σ (i=1...n) xi * yi + xi * zi 그리고 섬은 더하기에서 나눌(?) 수 있으니까
= Σ (i=1...n) xi * yi + Σ (i=1...n) xi * zi 이제 (I) 이랑 (II)를 대입하면
= 0 + 0
= 0

근데 이게 수학적으로 구멍이 없는건지는 모르겠네요 ㅎㅎ

배고프당님의 댓글

배고프당 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일

호프만님 증명에 조금만 첨언을 하자면, 위의 문제의 경우 R3이 아닌 Rn의 경우를 증명해야 하므로, 조금은 다르게 표현(?)해야한다고 생각되네요.

여러 증명법이 있겠지만 가장 간단하게 떠오르는 증명으로는, 우선 어떤 beliebig하지만 fest하기도한 자연수 n을 잡으면, Rn의 원소 x, y, z에 대해 x와 y가 orthogonal 하므로, 각각 끼리의  kanonisches Skalarprodukt는 0이고, 다시 x와 y+z의 kanonisches Skalarprodukt를 비교해보면, 결국 호프만님과 비슷하게 같은 결과가 나오는걸 확인할 수 있습니다. 그리고 kanonisches Skalarprodukt말고 다른 Skalarprodukt로도 위의 관계가 성립하니, Skalarprodukt의 공리들을 이용한 증명이 가장 깔끔한 증명이라고 생각되기도 하네요.
다른 증명으로는 , x,y 또 x,z가 선형 종속이면 x, z+y가 선형종속임을 보이는 경우도 있겠습니다.

  • 추천 1

호프만복근님의 댓글의 댓글

호프만복근 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일

아... Rn은 아예 안보고 지나쳤네요 ㅋㅋㅋ 아마 저도 봤으면 꾸역꾸역 어떻게는 했겠지만 수학적으로는 배고프당님 수준은 안되는 것 같아요. 진짜 수학적으로 뭔가를 증명 하는 법은 다 까먹었네요. 좋은 댓글 감사합니다!

별조각님의 댓글

별조각 쪽지보내기 메일보내기 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일

아 정말 감사드립니다 대충 혼자 풀고있는데 어차피 틀려도 괜찮아요! 다음주에 lösung을 받으니 ㅠㅠ 혼자공부하다가 이래저래 방향을 잡으려고하는건데요 ㅜㅜ 정말 감사드립니다

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