함부르크가 아니라 일반적인 것만 말씀드릴게요.
비자는 외국인청에서 처리하는게 맞습니다.
1. 테어민 자리가 자주 나는지 한번 체크해보세요. 지금 들어가도 한달 내에는 자리가 없는 경우가 많습니다. 이때쯤이면 서류준비가 끝났겠다 싶은 날짜로 미리 잡아두세요. 비자 테어민이 있으면 무비자 날짜 지나도 괜찮습니다.
2. 어학으로 하시는 거고 학교부설어학원이 아니면 유준비자가 아니라 어학비자를 받으실 겁니다. 어학은 등록일까지 주는 경우도 있고 1년으로 주는 경우도 있어 케바케입니다. 3개월 하셨으면 3개월만 받으실 수도 있습니다. 그리고 모든 서류가 다 준비되었더라도 보험계약일까지 나오기 때문에 보험가입기간을 길게 해두세요. 그리고 계좌 금액이 너무 적은 것 같네요. 대부분 1년치 비용을 입금 후 거래내역을 출력해가거나 슈페어콘토를 준비합니다. 요구하는 금액을 사이트에서 꼭 확인하세요.
4월에 학교 등록을 예상하고 오신 거라면 임시비자를 받으실 수도 있을 것 같네요.
3.  수돗물을 그냥 마시기도 하고 브리
타로 걸러 그냥 마시기도 합니다. 브리타는 석회 거르는 거라고 생각하시면 될 것 같습니다.

그리고 함부르크 외국인청에 직접 들어가셔서 준비서류 확인해보시길 추천드립니다. 비자는 한번 반려되면 그 후에는 더 까다롭게 심사하는 경향이 있어 한번에 하시도록 서류를 제대로 준비하시길 권합니다. 독어를 모르시더라도 어플에 대부분 번역기능 있으니 번역해서 꼭 보시고 모르는 부분을 다시 질문하시면 좋을 것 같습니다.

durl 님께서 아주 자세히 설명해주셨지만, 추가로 함부르크 사례를 덧붙이고 싶습니다.
1,2) 보통 어학원비자를 받고자 하는 학생들을 위해서 등록증을 길게 내어주는 어학원이 몇 군데 있습니다. 그런데 3개월 확인증을 받으셨으면 3개월짜리만 받을 수 있어요. 그러면 3개월마다 작성자님께서 갱신하셔야 할 것입니다.
그리고 durl 님이 말씀하신 대로 3월 초에 테어민을 잡으면 늦은 감이 있습니다. 지금부터 들어가셔서 확인하시면 몇 주 뒤에 테어민이 잡힐 테고 그러면 3월 27일 전에 유효한 비자를 가질 수 있습니다. 이게 가장 이상적이긴 한데 테어민이 27일 이후로 잡혀도 정말 괜찮습니다.
어학원 비자를 충족시키기 위해서 주당 진행되는 어학 수업 시간이 정해져 있습니다. 제가 2년 전에 알아본 바로는 주당 25시간 이상이었는데, 도이치아카데미의 인텐시브코스는 해당되지 않아 다른 어학원에 등록을 했고 거기서 비자를 위해 어학원 등록증이 필요하다고 해서 바로 발급받아 그걸로 비자를 무사히 받았습니다. 판데믹 시작 이후에 도이치아카데미에서 수강한 적이 없어 어떻게 변했는지는 모르겠지만 어학원비자를 충족하는 주당수업시간을 먼저 확인해보시길 권유드립니다.
비자 관련 서류를 준비하실 때에는 과하게 챙기는 것이 정말 도움이 많이 된다는 팁을 드리고 싶습니다. 이렇게나 많이 프린트해야 하나 싶은 것들이 나중에 담당자한테 보여줄 때 오히려 담당자 쪽에서 '이렇게나 자세하게 챙겨와줘서 편하다'는 말이 나오게 되더라고요.

안녕하세요! :) 어학 준비 사례중 궁금한것이 있어 답글 남깁니다
첫줄에 말씀하신, 등록증을 길게 내어주는 어학원이 아시는곳이 있다면 답변 부탁드려도 될까요? (당연 함부르크 기준 맞습니다)

위에 분들이 잘 설명해주셔서 추가적인것을 알려드릴게요. 함부르크에서 거주중입니다 함부르크는 하나의 외국인청 이외에 안멜둥 하신 암트 소속 외국인청이 따로 있습니다.처음 비자를 발급받으시는 거면 웰컴센터에서도 발급 받으실 수 있습니다. 어학원에 가셔서 등록했다는 증명서면 충분합니다.일단 현재 비자 발급이 많이 밀려있어서 일단 전화 또는 이메일 또는 사이트를 통해 테어민을 잡으시면 됩니다!