제가 이해하는 한, 안타깝게도, 방법이 없으십니다. 비자 신청이 가능하기 위해서는 거주 목적이 필요합니다. 독일 외국인 법에서 정의한 거주 목적은 다음정도로 한정됩니다.
- 동반자 비자: 배우자나 미성년 자녀 한정
- 학업비자: 학업 한정
- 경제적 활동: 취업비자 혹은 허가를 득한 자영업
- 연구비자: 국가 기관에 연구자로 활동
이 외에도 보호가 필요한 형태(난민 등)가 있지만 여기에는 애당초 한국 국적자는 속하기 힘들고요.

여행자 비자 3개월 이후에 계속 합법적으로 머무르실 방법이 없으셔요. 양자협정을 이용해서, 비쉥겐 국가에 나갔다가 독일로 바로 입국해서 다시 또 90일 체류가 가능한 방법 정도가 현실적으로 가능한데요... 그것도 쉽지 않은게, 이론적으로야 아무 무리가 없지만, 출입국 담당자가 쉥겐을 우선해서 (지난 180일 중 90일 쉥겐 지역에만 체류 가능) 계산한다거나, 비자를 얻을 수 없어서 무비자를 악용한다고 판단하면 입국 거부가 가능한지라... 그래도 한번 정도라면 아마 무리 없이 (90일 체류, 10일간 다른 곳 체류, 다시 90일 체류정도) 가능한 방법일거에요. 이후에는 알 수 없는 일이고요.

그래서, 현실적으로 완전하게 안전한 (?) 방법은 3개월 비쉥엔 (한국 등), 3개월 독일, 이런식으로 다니는 방식 말고는 없는듯 합니다.

환경오염이 가장 덜 된 뉴질랜드에 3개월 독일에 3개월 지내는 방법도 있겠네요. 아니면 한국 조용한 시골이 어지간한 독일 도시보다 환경오염이 덜 되었으니 그 곳에서 지내도 되고요.