dass 와 was 의 역할을 다시 정리하셔야할듯합니다.
둘은 반드시 구분해서 사용하셔야 합니다.
 
관계대명사는 자신이 이끄는 절(문장)에서 담당하는 역할이(주어, 목적어, 부사어) 있습니다.
dass 는 내 뒤에 절이 온다는 것을 알려주는 기능만 하며, 생략도 가능합니다. 즉, 문장에서 명사가 하는 역할을 dass 절도 할 수 있습니다.

예시하신 문장은 was 로 대체 못합니다. Was 가 담당할 문장성분(목적어나 주어) 이 없거든요.
님의 예시문장을 고쳐보면, 아래처럼 되며 뜻도 달라집니다.
Wer soll herausfinden, dass ich nicht angemeldet bin?
내가 등록 안된 걸 누가 알아내겠어?

Wer soll herausfinden, für was ich nicht
 angemeldet bin?
내가 어디에 등록 안됐는지(뭘 등록 안했는지) 누가 알아내겠어?

• 추천 1

첫번째는 dass-Satz이고
두번째는 첫번째 문장을  Relativsatz로 바꾸시려는 것 인가요?

Relativpronomen으로 was를 사용하는 경우는,
-was가 그 문장에서 주어나 목적어 이어야 하고 , 사람 또는 생물이 아닌 경우 입니다.
-Relativpronomen이 etwas, einiges, manches,alles,nichts 등등을 부연설명 할 경우
 Er sagte einiges, was ich nicht wusste.(was->목적어)
 Sie sagte einiges, was mich wunderte.(was->주어)
-Relativpronomen이 앞문장 전체를 부연설명 할 경우
 Er kam gestern sehr spät nach Hause, was mich ärgerte.
 또는
 Er kam gestern sehr spät nach Hause, worüber ich mich ärgerte.

Relativpronomen앞에 Präposition이 올 경우 wo(r)+Präposition을 씁니다.
Wer soll herausfinden, wofür ich nicht angemeldet bin? 라고 합니다.

제 답글에 첨가합니다.

이곳이 독어문답 코너이니, 아무래도 구어체가 아닌  문어체와 시험문법위주로 답했어야하는데...딱히 머릿속에 떠오르는 예문이 없어  Kaffee 님의 예문을 억지로 사용하다보니 의미는 쫌 이상해지더군요^^;

어쨌든, 휴지통님께서 설명하신 것 처럼, 시험대비, 작문시
전치사+관계대명사 일때, wo(r)+전치사로 사용하셔야 100% 맞습니다.

하지만 구어체로 일상생활에서 für was? zu wem 등등으로 쓰셔도 괜찮은 경우가 상당히 많습니다. 구어체 대화에서 특히 자주 나옵니다.
언젠가 duden 사전에 추가될 날이 올 지도...

두분 답변 모두 감사드립니다.
가장 먼저 댓글 달아주신 BS 한글학교님 댓글을 답변으로 채택했습니다.

사실 저는 아직 시험대비를 고려하지는 않고
일상생활에서 구어로 자연스럽게 전달하는 쪽에 중점을 두는 편이라서요ㅎㅎ
그렇다면 zu wem을 좀 더 유도리(?) 있게 사용해도 괜찮다는 건
어떤 문장인지 예시를 들어주실 수 있을까요?

종종 쓰지만 아직 정확하게 두덴에서 인정하는 문법이 아닌지라, 문맥에 맞게 종 더 강조하고 싶으시거나 명확하게 하시고 싶으실 때 구어체에서 사용하시면 됩니다. Zu wem 뿐만이 아니라 전치사+관계대명사 조합 모든ㅈ것에 해당됩니다.
딱히 떠오르는 예문이 없네요^^;

아래문장에서는 문맥상 꼭 zu wem 으로 사용하셔야 돼요.

A. 안나는 어느 병원으로 가니?
Wo geht Anna hin, wenn sie krank ist?
B.  xxx Gemeinschaftspraxis.
Ich weiss nicht, zu wem sie geht. Aber ich glaube, alle Ärzte in der praxis sind kompetent.

• 추천 1